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Retratos espectrales de las soluciones de primer orden doblemente periódicas de la ecuación no lineal de Schrödinger.  
Retratos espectrales de las soluciones de primer orden doblemente periódicas de la ecuación no lineal de Schrödinger.

Sistemas no lineales


La linealidad de un sistema permite a los investigadores hacer ciertas suposiciones matemáticas y aproximaciones, permitiendo un cálculo más sencillo de los resultados. Ya que los sistemas no lineales no son iguales a la suma de sus partes, normalmente son difíciles de modelar, y sus comportamientos con respecto a una variable dada (por ejemplo, el tiempo) son extremadamente difíciles de predecir.

Algunos sistemas no lineales tienen soluciones exactas o integrables, mientras que otros tienen comportamiento caótico, por lo tanto no se pueden reducir a una forma simple ni se pueden resolver.

Los espectros obtenidos al aplicar la tecnica del scattering inverso (TSI) juegan un papel crucial en la física de los fenómenos no lineales. Definen la evolución a largo plazo de los sistemas dinámicos.
Presentamos los retratos espectrales de la TSI para las extensas familias de tres parámetros de primer orden de soluciones doblemente periódicas de la ecuación no lineal de Schrödinger que abarcan una amplia gama de fenómenos físicos como la inestabilidad modulacional, las ondas de choque y muchos otros problemas con condiciones de contorno periódicas.
En el artículo se relacionan estos retratos espectrales con los parámetros de la familia. Se muestra que hay dos tipos cualitativamente diferentes de retratos espectrales. Los espectros de la soluciones de tipo A consisten en dos bandas continuas: una banda de valores propios puramente imaginarios dentro del intervalo [-i, i] y una banda finita de valores propios complejos. Por el contrario, los espectros de las soluciones de tipo B sólo poseen bandas continuas de valores propios imaginarios, todos ellos situados dentro del intervalo [-i, i] y separados por un espacio de banda finito. En el artículo se da una interpretación física de estos resultados.
Las soluciones de tipo A pueden considerarse como ondas estacionarias de pares de ondas que interactúan de manera no lineal y que se propagan en direcciones opuestas a lo largo del eje transversal. Este no es el caso de las soluciones de tipo B. Estas últimas se consideran incompatibles con las AB de cierta gama de frecuencias.

La técnica de scattering inverso es una herramienta esencial en la física matemática que nos permite resolver problemas iniciales de valor para un número de ecuaciones diferenciales parciales que modelan la propagación de ondas no lineales en la física. Entre ellas se incluyen la ecuación de KdV, la ecuación no lineal de Schrödinger, la ecuación de Sine-Gordon y una multiplicidad de ecuaciones de otras evoluciones.
Una parte esencial de esta técnica es el análisis espectral que proporciona información sobre los modos no lineales que participan en la evolución. En particular, este espectro proporciona información sobre el contenido de solitones en un campo de ondas. La construcción del espectro de la TSI para la solución de una ecuación no lineal es equivalente al análisis de Fourier en problemas lineales. Como tal, la descomposición espectral de la TSI puede ser usada en ingeniería óptica, por ejemplo en telecomunicaciones, transmisión de señales, procesamiento de datos ópticos, análisis de ondas de choque y en otros problemas de la óptica no lineal.

El espectro de TSI está directamente relacionado con el espectro de modos en el análisis de estabilidad lineal de las soluciones estacionarias periódicas. Por lo tanto, el conocimiento del espectro de TSI es importante tanto en la teoría como en las aplicaciones. Un análisis espectral completo de TSI requiere de construcciones matemáticas muy complejas tales como los enfoques algebraico-geométricos, los métodos de brechas finitas, las superficies de Riemann y las funciones theta. Sin embargo, por razones prácticas, las soluciones simples y el análisis numérico pueden ser más eficientes para visualizar los llamados "retratos espectrales" de las soluciones de la NLSE (ecuación de Schrödinger no lineal) de interés práctico. Tales retratos espectrales pueden construirse para la inestabilidad modulacional, las ondas de choque, la turbulencia integrable, las soluciones periódicas super-regulares y otros fenómenos no lineales comunes a varias ramas de la física.

Las soluciones periódicas del NLSE son una clase importante de soluciones en la física. En principio, pueden escribirse explícitamente en forma de cociente de funciones theta. Sin embargo, esta representación no ha encontrado muchas aplicaciones ya que tiene un número infinito de parámetros libres. Esta forma general puede compararse con las soluciones multisolitonicass con un número infinito de solitones en la solución. Al tratar con tales soluciones, tenemos que investigar primero sus componentes fundamentales. Actualmente se conoce bien una solución de un solitón. Sin embargo, los componentes fundamentales de las soluciones periódicas aún no se han investigado completamente. Estos componentes fundamentales son soluciones de primer orden de doble período. Se trata de familias de tres parámetros en forma de combinaciones no triviales de funciones elípticas de Jacobi. Los parámetros reales libres ofrecen la posibilidad de adaptar los períodos y la amplitud de la solución a condiciones físicas particulares. Es importante compararlos con las mediciones espectrales observadas en los experimentos, pero los espectros de la TSI son fundamentalmente diferentes. Estos son componentes cruciales de la teoría matemática y la interpretación física. Los espectros de la TSI son importantes para comprender la evolución del campo a largo plazo y para construir soluciones multiperiódicas más complejas. Tales espectros nunca han sido producidos en trabajos anteriores. Llenamos este vacío en el presente manuscrito, abriendo así caminos para un mayor progreso en esta área.

El trabajo es una colaboración entre el Instituto de Óptica y el departamento de física teórica del Research School of Physics de la Universidad Nacional Australiana

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